Progressões: Conceitos e exemplos práticos de P.A. e P.G.

rafaelbb
By rafaelbb setembro 22, 2013 12:42 Updated

Progressões: Conceitos e exemplos práticos de P.A. e P.G.

Progressões: Aprenda as diferenças de P.A. e P.G.

Progressões: exemplo de uma P.A. e uma P.G.

Progressões: exemplo de uma P.A. e uma P.G

1) Progressões Aritméticas:

Definição: P.A são sequências de números, em que a diferença entre um número e seu antecedente é igual à uma razão “r”. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progressões crescentes, a razão será positiva, e nas decrescentes, será negativa.

O valor da razão “r” será calculado da seguinte forma:

r = a2 – a1 ou r = a3 – a2 ou r = a4 – a3 ou r = a5 – a4 ou r = a6 – a5, e assim por diante.

Nos exercícios de progressões aritméticas (P.A.), devemos ter em mente duas fórmulas:

a) N-ésimo termo de uma P.A.:

A fórmula abaixo é usada quando se quer determinar o n-ésimo termo de uma progressão aritmética.

an = a1 + (n – 1) . r

Onde,

an = n-ésimo termo que se quer determinar.

a1 = primeiro termo da sequência.

n = número de termos da sequência.

r = razão da sequência, encontrado pela diferença de um termo e seu antecessor.

Exercício:

Dada a sequência (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.

a1 = 1

n = 18

r = 3 -1 = 2   ou   r = 5 – 3 = 2    ou   r = 7 – 5 = 2

a18 = ?

an = a1 + (n – 1) . r

a18 = 1 + (18-1) . 2

a18 = 1 + 17.2

a18 = 1 + 34

a18 = 35

b) Soma dos n primeiros termos:

Podemos fazer a soma de n termos de uma progressão aritmética por meio de uma fórmula, que será:

Sn = ((a1 + an) . n) / 2

Sn = soma dos n termos

a1 = primeiro termo da sequência.

an = n-ésimo termo da sequência.

n = número de termos da sequência.

Exercício:

Dada a sequência (1,3,5,7,9,11,13,15,17), calcule a soma dos termos dessa P.A.

a1 = 1

an = 17

n = 9

Sn = ?

Sn = ((a1 + an) . n) / 2

Sn = ((1 + 17) . 9) / 2

Sn = (18.9) / 2

Sn = 81

2) Progressões Geométricas:

Definição: P.G. são sequência de números, em que a divisão entre um número e seu antecedente é igual à uma razão “q”. Elas podem ser crescentes ou decrescentes. Nas progressões crescentes, o q será maior que 1, e nas progressões decrescentes, será menor que 1 e maior do que zero. Nas progressões com razão negativa, a sequência não será nem crescente nem decrescente.

O valor da razão “q” será calculado da seguinte forma:

q = a2 / a1 ou q = a3 / a2 ou q = a4 / a3 ou q = a5 / a4 ou q = a6 / a5, e assim por diante.

Nos exercícios de progressões geométricas (P.G.), devemos ter em mente três fórmulas:

a) N-ésimo termo de uma P.G.:

A fórmula abaixo é usada quando se quer determinar o n-ésimo termo de uma progressão geométrica.

an = a1 . q  ^ (n – 1)

Onde,

an = n-ésimo termo que se quer determinar.

a1 = primeiro termo da sequência.

n = número de termos da sequência.

q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.

Exercício:

Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.

a1 = 1

q = 2 / 1 = 2    ou    q = 4 / 2 = 2    ou   q = 8 / 4 = 2    ou    q = 16 / 8 = 2

n = 18

an = ?

an = a1 . q  ^ (n – 1)

a18 = 1 . 2 ^ (18 – 1)

a18 = 1 . 2  ^ 17

a18 = 1 . 131072

a18 = 131072

b) Soma dos n primeiros termos (P.G. finita):

Podemos fazer a soma de n termos de uma progressão geométrica por meio de uma fórmula, que será:

Sn = (a1 . ((q ^ n) – 1)) / (q – 1)

Onde,

Sn = soma dos n primeiros termos.

a1 = primeiro termo da sequência.

n = número de termos da sequência.

q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.

Exercício:

Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule a soma dos n termos dessa sequência.

a1 = 1

n = 9

q = 2 / 1 = 2    ou    q = 4 / 2 = 2    ou   q = 8 / 4 = 2    ou    q = 16 / 8 = 2

Sn = ?

Sn = (a1 . ((q ^ n) – 1)) / (q – 1)

Sn = (1 . ((2 ^ 9) – 1 ) / (2-1)

Sn = (1. (512) – 1) / (1)

Sn = (512 – 1) / 1

Sn = 511

c) Soma dos infinitos termos de uma sequência (P.G. infinita):

Podemos fazer a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica por meio de uma fórmula, que será:

S infintos = a1 / (1 – q)

Observação: Nesse caso específico, a razão deve estar compreendida entre -1 e 1 (condição necessária para usar a equação abaixo).

Onde,

S infinitos = soma dos infinitos termos.

a1 = primeiro termo da sequência.

q = razão da sequência, encontrado pela divisão de um termo e seu antecessor.

Exercício:

Dada a sequência (1, 0.5, 0.25, 0.125, …), calcule a soma dos infinitos termos dessa sequência.

Observe o sinal de “…”, indicando que a P.G. é infinita.

a1 = 1

q = 0,5 / 1 = 0,5   ou    q = 0.25 / 0.5 = 0.5    ou   q = 0.125 / 0.25 = 0.5

S infintos = a1 / (1 – q)

S infintos = 1 / (1 – 0,5)

S infinitos = 1 / 0,5

S infinitos = 2

As fórmulas das progressões aritmética e geométrica devem ser memorizadas por aquelas pessoas que irão fazer provas de matemática ou raciocínio lógico, pois a grande maioria dessas provas cobram assuntos relacionados à progressões.

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rafaelbb
By rafaelbb setembro 22, 2013 12:42 Updated
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28 Comments

  1. Thalia outubro 24, 11:31

    Adorei o post, super me ajudou, preparação pra vestibular é disso que preciso algo objetivo, como autodidata sempre procuro estudar pela Internet e o seu foi o site em que mais atendeu minhas expectativas

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  2. JULIANA ELIZA GONCALVES SIMOES (ALN) novembro 25, 12:20

    O exercício sobre a soma de termos de uma p.a está errado!!! Fiz duas vezes e deu 86….no site aparece 81.

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    • Charles agosto 21, 14:21

      Não. Vc deve sempre realizar os calculos dos numeros dentro dos parenteses primeiro. A resposta esta correta

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    • CORPSE setembro 2, 14:06

      quero saber se vc não sabe mais multiplicar mocinha?!

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    • ESTER agosto 29, 20:24

      BOA TARDE
      A SOMA ESTA SUPER CORRETA FIZ AQUI E CONFIRMO.
      Sn = ((a1 + an) . n) / 2

      Sn = ((1 + 17) . 9) / 2

      Sn = (18.9) / 2

      Sn = 81
      1+17=18
      18*9= 162
      162/2=81

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  3. julia santos dezembro 6, 22:58

    JULIANA, ESTÁ CERTO SIM. O SEU PROBLEMA DEVE ESTAR NA CONTA FEITA. MULTIPLIQUE RESPEITANDO OS PARENTESES E VEJA QUE IRÁ DAR 81.

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  4. Gabriel dezembro 8, 13:32

    Muito obrigado ajudou muito espera tirar uma boa nota agora :)

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  5. David fevereiro 25, 04:06

    Muito bom, ajudou a revisar o conteúdo.

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  6. J_Marcos março 4, 20:21

    Ótimo post, bem explicado e exemplificado. Me ajudou muito! Muitíssimo obrigado.

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  7. Clara junho 10, 20:55

    Boa tarde, gostaria de saber o que representa o acento circunflexo nessa fórmula da PG.
    Obrigada.

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    • lucas novembro 27, 01:44

      elevado

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    • maria janeiro 14, 17:21

      significa que o número está elevado a n-1
      ^ = elevado

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    • jean janeiro 27, 18:35

      quer dizer que o numero é elevado exemplo 2²=4 igual a 2^2 ou 3³=27 igual a 3^3=27

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    • Sádyna Reis fevereiro 20, 23:36

      Significa que é expoente, ou o termo mais “conhecido” potência, ou seja, seria dois elevado à nove.

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    • Tah maio 18, 15:19

      O acento circunflexo, na verdade representa a elevação que vc fará com o número 2, ou seja, será 2 elevado a 17,vc fará dezessete vezes a multiplicação do dois vezes dois, assim chegará ao resultado de 131072.
      2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 131072

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    • Iza junho 5, 21:18

      Significa elevado , tipo q elevado a n.

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    • eduardo junho 30, 11:28

      representa potência, ” q^n ” é q elevado a n

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    • Henrique julho 5, 22:15

      2^17 é uma potenciação. 2 elevado à 17, que é igual a 131072

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  8. CAIO outubro 6, 18:06

    O que significa o ^ na formula do PG ?

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  9. Beatriz Corsini novembro 6, 03:13

    Ótima publicação! Me ajudou muito!

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  10. SouDeHumanas março 6, 18:49

    muito top o post,ajudou pakas!

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  11. chany março 15, 18:54

    gostei ajudou i espero continuar a ajudar, como determinar o decimo quinto termo da sucessao

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  12. Lola abril 5, 18:31

    Sucintamente muito bom!

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  13. jonathas maio 30, 19:22

    Me ajudou bastante,esse site! Espero tirar uma boa nota na prova!

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  14. Roberto junho 2, 22:19

    Me ajudou bastante esse post!

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  15. Satan setembro 3, 17:07

    Nossa, explicação maravilhosa. Era disso que precisava, algo muito objetivo.

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  16. JOYNER setembro 21, 18:14

    PRECISO DE AJUDA NO EXERCICIO DE P.A

    a1 = 3
    an + 1 + 2 sobre an

    E

    an= n2 + 2n

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  17. Leonardo setembro 27, 01:45

    Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule a soma dos n termos dessa sequência.

    a1 = 1

    n = 9

    q = 2 / 1 = 2 ou q = 4 / 2 = 2 ou q = 8 / 4 = 2 ou q = 16 / 8 = 2

    Sn = ?

    Sn = (a1 . ((q ^ n) – 1)) / (q – 1)

    Sn = (1 . ((2 ^ 9) – 1 ) / (2-1)

    Sn = (1. (512) – 1) / (1)

    Sn = (512 – 1) / 1

    Sn = 511

    Revisei a conta e 2^9= 1024, se eu estiver errado me fale pf

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