Equações e inequações do primeiro e segundo grau

rafaelbb
By rafaelbb outubro 21, 2013 22:57 Updated

Equações e inequações do primeiro e segundo grau

Equações e inequações de primeiro e segundo grau

1) Equações do primeiro grau:

Equações do primeiro grau

Definição: é toda equação (possui relação de igualdade) da forma y = ax + b, onde:

y = variável dependente de x.

a = coeficiente angular.

x = variável independente.

b = coeficiente linear da equação.

Observe, na figura acima, que a equação de primeiro grau pode ser representada  por uma reta, que toca o eixo y no ponto “b” e o eixo x em um ponto “x”, chamado de raíz da equação.

Exemplo:

1) Resolva a equação 2x + 4 = 8 + x.

Nesse caso, devemos passar todos os “x” para um lado da equação e todos os números para o outro lado. Observe a mudança de sinal quando os elementos mudam de lado da equação.

2x – x = 8 – 4

x = 4

Equações do Primeiro Grau com Duas Variáveis ou Sistema de Equações Lineares:

Nesse caso teremos duas incógnitas que devemos descobrir os seus valores.

Exemplo:

x + y = 8

x – y = 4

Podemos resolver esse problema de duas formas. A primeira é pelo método da substituição. Nesse caso, vamos isolar a variável x na primeira equação e substituir o x na segunda equação. Observe:

x = 8 – y (primeira equação)

(8 – y) – y = 4 (segunda equação)

Vamos encontrar o valor de y na segunda equação.

8 – 2y = 4

8 – 4 = 2y

2y = 4

y = 2

Com isso, vamos substituir o valor de y =2 na primeira equação.

x + y = 8

x + 2 = 8

x = 8 – 2

x = 6

O segundo método de resolução é bem mais simples. É o método da adição. Vamos somar a primeira equação com a segunda equação. Observe que o y irá desaparecer, pois iremos somar y – y = 0

(x + x) + (y – y) = 12

2x = 12

x = 6

Agora podemos usar qualquer uma das duas equações para descobrir o valor de y.

x + y = 8

6 + y = 8

6 – 8 = -y

-2 = -y

y = 2

Inequação do Primeiro Grau:

Nesse caso não existe o sinal de “=”, e sim o sinal de “>”,  ”<”, “≥” ou “≤ “.

Exemplo:

1) Resolva a inequação -2x + 1 ≤ 9

-2x ≤ 9 – 1

-2x ≤ 8

-x ≤ 4

Podemos multiplicar ambos os lados da equação para fazer o x ficar com sinal positivo. No entanto, essa operação irá mudar o sinal da desigualdade, passando de “≤ ” para ”≥”.

x ≥ 4

2) Equações do Segundo Grau:

Definição: É toda equação da forma y = ax² + bx + c, onde:

y = variável dependente de x.

a = coeficiente de x².

x = variável independente.

b = coeficiente x.

c = constante da equação.

As equações do segundo grau ditas completas possuem a, b e c ≠ 0. Caso algum desses coeficientes seja 0, a equação é dita como incompleta. Observe os exemplos:

a) x² = 4 é uma equação incompleta, pois b = 0

b) x² = x é uma equação incompleta, pois c = 0

Caso a = 0, teremos uma equação do primeiro grau.

Quando as equações forem completas, precisamos saber duas fórmulas para resolver os exercícios, são elas:

1) Δ = b² – 4.a.c

2) x = (– b ± √Δ) / 2a

Exemplo:

1) Resolva a equação 5x² – 3x – 2 = 0

a = 5, b = -3 e c = -2

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-3)² – 4.5.-2

Δ = 9 + 40

Δ = 49

√Δ = 7

x = (– b ± √Δ) / 2a

x1 = (-b + √Δ) / 2a = (3 + 7) / 10 = 10 / 10 = 1

x2 = (-b – √Δ) / 2a = (3 – 7) / 10 = -4 / 10 = -0.4

Logo, temos dois valores para x, o “1″ e o “-0.4″.

Equação do segundo grau com b = 0:

Exemplo: x² = 4

x = ± 2

Equação do segundo grau com c = 0:

Exemplo: x² = x

x² – x = 0

x .(x – 1) = 0

Temos duas soluções:

1) x = 0

2) x -1 = 0 ou x = 1

Inequação da segundo grau:

Nesse caso não existe o sinal de “=”, e sim o sinal de “>”,  ”<”, “≥” ou “≤ “.

Exemplo:

1) Resolva a inequação 5x² – 3x – 2 ≥ 0

Como já calculamos o valor de Δ e x, podemos ir direto aos valores.

Δ = 49 e √Δ = 7

x1 = 1 e x2 = -0.4

Nos exercícios de inequações do segundo grau, devemos fazer o seguinte desenho.

eq

Os valores que estão à direita ou à esquerda de x possuem o mesmo sinal de “a”e os valores que estão entre x1 e x2 possuem sinal contrário ao de “a”. Logo, ficaria assim:

eq1

Como queremos os valores positivos, devemos escolher os valores antes de -0.4 e depois de 1, ou seja, a solução será:

x ≤ -0.4 ou x ≥ 1

Podemos fazer um teste para verificar se essa resposta é verdadeira. Podemos escolher o valor de x de 0, que não pertence ao intervalo da solução mostrado acima. Ou seja, o valor de x = 0 não deve satisfazer a condição inicial do exercício. Verifiquemos:

5.(0)² – 3(0) – 2 ≥ 0

0 – 0 -2 ≥ 0

-2 ≥ 0, não, ou seja, 0 não faz parte.

Podemos escolher valores de x no intervalo solução mostrado acima e iremos verificar que a condição é atendida.

Observação: o que diferencia a equação do primeiro grau da equação do segundo grau é que a de segundo grau tem o termo de x² e a de primeiro grau não tem esse termo.

Com essas definições de equações de primeiro e segundo grau, os concurseiros estarão prontos para resolver a grande maioria das questões de concursos públicos

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